Математика

Тема: Восстановление начала координатного луча и единичного отрезка по координатам

Цель:

1. Показать учащимся рациональный способ восстановления начала координатного луча и единичного отрезка;

2. Повторить арифметические действия с многозначными числами;

3. Развивать логическое мышление.

Оборудование: карточки с заданиями, фотографии, учебники.

Оформление доски:

Классная работа

Сыскное агентство

«Логика + Интуиция»

Фотографии сыщиковhttps://pandia.ru/text/78/605/images/image001_53.gif"> : 1: 8 * 8: 50 * 1

https://pandia.ru/text/78/605/images/image002_13.gif" width="74">.gif" width="62">

I. Организационный момент

1. Сегодня наш класс – это не класс.

Мы открываем агентство у нас.

Будем исследовать, будем искать

Задачи, поставленные, будем решать.

Что такое "сыскное агентство"?

Кто такие сыщики? (синонимы: детективы, исследователи)

Каких литературных героев вы знаете?

3. Исследование фотографии

Из какого произведения?

Может ли сыщик работать один без помощников?

Мы сегодня создали свое сыскное агентство, только оно у нас с математическим уклоном. И назвали мы его «Логика + Интуиция».

Что такое логика?

Что такое интуиция?

"Логика" – наука о законах мышления, ход рассуждений, закономерность чего – нибудь.

"Интуиция" - в переводе с латинского тонкое понимание чего – нибудь, чутье.

В нашем агентстве будет работать 3 группы, во главе со знаменитым сыщиком. Не забывайте, что главное – это взаимопомощь и поддержка. Давайте пригласим наших героев.

4. Представление сыщиков

Я, Шерлок Холмс, господа!

(Кто написал это произведение?)

Я, сыщик Колобок!

Я, сыщик Пинчер старший, лучший сыщик с дипломом!

II. Закрепление пройденного материала.

1. Работа по карточкам для сыщиков.

Вам дается право выбрать себе рабочую группу, но для этого вам необходимо решить первую задачу;

Что вы можете сказать об этой цепочке?

(она состоит из геометрических фигур)

Кто первый справился и выдал больше информации, тот может выбрать рабочую группу.

2. Работа в группах

Ну а сейчас настроимся и попробуем решить первую проблему.

Найти значение выражения.

Повторить название компонентов.

(действия какой ступени выполняются первыми?)

III. Работа над новым материалом.

Давайте продолжим наше исследование, откроем свои записные книжки и впишем число, чтобы не забыть эту дату.

1. Постановка проблемы

А вот и первая проблема, с которой мы постараемся справиться.

а) рассмотрите чертеж

б) что на нем изображено?

Что здесь лишнее? (коорд. луч)

Почему? (отрезок, луч, прямая, ломаная - это геометрические понятия, а координатный луч - алгебраическое)

Что не отмечено на координатном луче? (начало, единичный отрезок)

Что такое отрезок, луч?

2. Работа в тетрадях

Построить корд. луч, отметить начало, ед. отрезок.

3. Работа с учебником

А сейчас давайте откроим учебники, именно он будет подбрасывать нам задачи, с которыми ми должны справиться, а вы – сыщики являетесь координаторами, которые должны помочь каждому в своей группе.

Что изображено в учебнике?

Какие координаты отмечены на координатном луче?

Восстановите начало и единичный отрезок

Какой способ верный?

4.Закрепление.

Построить координатный луч

Выбрать единичный отрезок равный 1см

Отметить точки равные координатам 2, 4 ,6 ,8

5. Физкультминутка

Ну что устали?

Даже таким известным сыщикам нужен отдых

Я буду называть числа, если они четные - встают девочки, если нечетные - мальчики.

42,19, 8, 64, 1160, 500, 913. 0(не натуральное число)

6. Решение задачи

Ой, ребята, кто - то стучится. Нам - письмо. Это от ребят третьего класса. Они отправились в соседнюю деревню, поможем им вернуться.

Решение задачи на движение

Мальчики до деревни прошли пешком 20 км, двигаясь со скоростью 5км в час. А обратно они ехали на велосипеде в 2 раза быстрее. За сколько часов они проедут это расстояние?

Молодцы.

7. Решение системы неравенств

Наше агентство помогает всем, только во всем нужна система. Включите свою логику, пусть поможет вам ваша интуиция, и помогите Шалтаю – Болтаю (откуда взялся этот герой?)

Решение системы неравенств у доски

X > 97 X > 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104

X < 105 X < 104, 103, 102, 101, 100, 99, 98

8. Решение задачи на смекалку

Сыщики – это люди, которые даже отдыхают с пользой для дела, попробуем и мы.

Ты живешь в первом подъезде? (да – остаются квартиры с 1 по 32)

Номер твоей квартиры больше 16? (нет - остаются квартиры с 1 по 16)

Номер твоей квартиры больше 8? (да – остаются квартиры с 8 по 16)

Номер твоей квартиры больше 12? (да – остаются квартиры с 13по 16)

Номер твоей квартиры больше 14? (да – номер Гришиной квартиры 15)

Каково наибольшее количество таких вопросов? (6 вопросов)

9. Дополнительный материал: Решение уравнений

(x - 3)*7 =14 (x + 2)*7 =49

X – 3=14:7 x +2 = 49:7

X – 3 = 2 x + 2 =7

X = 3+2 x = 7 - 2

IV. Итог

Рефлексия деятельности

Что узнали нового?

Подведение итогов

С помощью ровной деревянной рейки две точки A и B можно соединить отрезком (рис. 46 ). Однако этим примитивным инструментом измерить длину отрезка AB не удастся. Его можно усовершенствовать.

На рейке через каждый сантиметр нанесем штрихи. Под первым штрихом нанесем число 0, под вторым − 1, третьим − 2 и т.д. (рис. 47 ). В таких случаях говорят, что на рейку нанесена шкала с ценой деления 1 см. Эта рейка со школой похожа на линейку. Но чаще всего на линейку наносят шкалу с ценой деления 1 мм (рис. 48 ).

Из повседневной жизни Вам хорошо известны и другие измеритильные приборы, имеющие шкалы различной формы. Например: циферблат часов со шкалой деления 1 мин (рис. 49 ), спидометр автомобиля со шкалой деления 10 км/ч (рис. 50 ), комнатный термометр со шкалой деления 1 °C (рис. 51 ), весы со шкалой деления 50 г (рис. 52 ).

Конструктор создает измерительные приборы, шкалы которых конечны, т. е. среди отмеченных на шкале чисел всегда есть наибольшее. А вот математик с помощью воображения может построить и бесконечную шкалу.

Начерти луч OX. Отметим на этом луче какую−нибудь точку E. Напишем над точкой O число 0, а под точкой E − число 1 (рис. 53 ).

Будем говорить, что точка O изображает число 0, а точка E − число 1 . Также принято говорить, что точке O соответствует число 0, а точке E − число 1 .

Отложим вправо от точки E отрезок, равный отрезку OE. Получим точку M, которая изображает число 2 (см. рис. 53 ). Таким же образом отметим точку N, изображающую число 3 . Так, шаг за шагом, получаем точки, которым соответствуют числа 4, 5, 6, ... . Мысленно этот процесс можно продолжать сколько угодно.

Полученную бесконечную шкалу называют координатным лучом , точку O − началом отсчета , а отрезок OE − единичным отрезком координатного луча.

На рисунке 53 точка K изображает число 5 . Говорят, что число 5 является координатой точки K, и записывают K(5 ). Аналогично можно записать O(0 ); E(1 ); M(2 ); N(3 ).

Часто вместо слов "отметим точку с координатой, равной..." говорят "отметим число...".

Тема: Координаты на луче.

Цели урока:

• сформировать способность к определению координаты на числовом луче с заданным единичным отрезком;
• сформировать способность записывать координаты любых точек;
• тренировать навык к грамотному построению координатных лучей.

Ход урока

I. Самоопределение к деятельности.

Дети работают стоя.

– Настроимся на работу. Закройте глаза. Погладьте себя по голове, по лицу, пожелайте себе мыслить ясно, запоминать крепко и быть внимательными, как разведчики. Крепко обнимите и полюбите себя. Откройте глаза и повторяйте за мной:

Я очень хочу учиться!
Я готов к успешной работе!
Я замечательно работаю!

– С чем вы познакомились на предыдущих уроках? (Шкалы. Числовой луч.)

– Мы сегодня продолжим эту интересную работу.

– Нам предстоит подняться еще на одну ступеньку Лесенки Знаний, чтобы узнать новое понятие, связанное с числовым лучом.

II. Актуализация знаний и мотивация.

а) – Дома вы должны были построить числовой луч и на нем отметить результаты измерения длин сторон подобного многоугольника, расположив их в порядке возрастания.

Например: стороны многоугольника равны:

3 см, 6 см, 9 см, 12 см, 15 см, 18 см, 21см, 24см, 27см.

– Покажите: что у вас получилось?

У кого возникали затруднения?

(Дети показывают листочки с заданием. )

– Что интересного заметили? (Числа, кратные 3.)

– Какие знания вы использовали при построении числового луча?

(1. Число 0 – начало луча. 2. На числовом луче откладывали равные единичные отрезки. 3. Расстояние от каждой точки числового луча до начала отсчета равно соответствующей этой точке числу.)

– Какие действия позволяет выполнить числовой луч?

(Изобразить любое число; складывать, вычитать и сравнивать числа).

– Тогда изобразите на своем числовом луче смешанное число .

(Дети садятся, 1 ученик показывает на доске или на демонстрационном образце.)

– Что для этого нужно?

(Взять 15 целых единичных отрезков, а 16-ый разделить на 3 равные части, но взять лишь 1 из трех.)

б) – А сейчас я дам вам “ключ”, чтобы узнать новое понятие, стоящее на следующей ступеньке лесенки Знаний.

– Вы для этого на своем числовом луче проставьте буквы, соответствующие числам данной таблицы и прочитайте получившееся слово:

– Итак, на следующей ступеньке Лесенки Знаний “появляется” новое понятие – “координата”, числовой луч смысл которого мы сейчас должны выяснить. шкала

в) – Я предлагаю вам выполнить следующее задание на индивидуальных листочках:

“За 1 минуту определить и записать координаты точек А, В, С, D в данном прямоугольном окошечке”. Можно изобрести свой способ записи…

– Кто выполнил задание – встать!

Какие записи у вас получились? Показать на доске…

(Несколько учащихся показывают свои варианты.)

– Как же так: задание было одно, а варианты записей получились разные?

Какими знаниями вы руководствовались при записи?

III. Постановка учебной задачи.

(Дети работают стоя.)

– Чем это задание отличается от предыдущего, когда вы отмечали разные числа на числовом луче? (Не требовалось определять и записывать координаты точек.)

– Так в чём именно возникло затруднение? Почему записи получились разными?

(Не поняли значение слова “координата”; не знали, как грамотно записывать; не успели…)

– Какова же цель нашего урока? (Или чему мы должны научиться?)

(Уточнить значение понятия “координата” точки; научиться определять и записывать координаты любых точек).

– Сформулируйте тему урока… (появляется запись на доске) : Координаты на луче.

– Молодцы!

– А на следующем этапе нашего урока мы и уточним значение понятия “координата” и научимся грамотно записывать координаты любых точек.

IV. “Открытие” детьми нового знания.

а) – Итак, кто или что является вашим первым помощником при затруднениях?

(Словарь, учебник, учитель, знания с прошлых уроков…)

– Слышали ли вы фразу: “Оставьте свои координаты”? Что она обозначает?

(Оставить свой адрес. Дать номер телефона.)

– Значит, речь идет …о чем?…(О местоположении.)

– А что же используют для записи адреса? (Число).

– Так что же такое “координата” точки?

(Это число, показывающее местоположение точки на числовом луче, т. е. “адрес” точки.)

– Итак, со значением слова “координата” выяснили. Желающие могут на перемене проверить по толковому словарю! (Толковый словарь лежит на столе учителя).

б) – Вернемся к нашему заданию: “Определить и записать координаты точек А, В, С, D”.

– Кто справился верно с заданием, помогите тем, кто допустил ошибки в нем: объясните им, что вам помогло безошибочно выполнить эту работу? (Высказывания учащихся).

– Действительно, в математике существуют строгие правила, есть свои условные обозначения.

– Посмотрите внимательно на опору: Как здесь записана координата точки А?

(В скобках, рядом с обозначением точки.)

– Что показывает число в скобках?

(Количество единичных отрезков от начала отсчета до точки А.)

– Внимание! Буквенное обозначение точки – над лучом, а соответствующее число – под ним!

– Исправьте в своих записях ошибки те, кто их допустил.

(Хоровой ответ учащихся с помощью опоры.)

(Дети садятся и продолжают работу сидя.)

в) – Проверьте себя по учебнику: с. 61 – чтение вывода про себя…

– Так что же такое “координата точки”?

– А почему координата вашей точки В равна (8)?

(Именно это число показывает расстояние от т. В до начала луча.)

– Что нового вы узнали про числовой луч из вывода в учебнике?

(Он ещё называется координатным лучом).

– Почему его еще и так называют?

(Так как каждой точке числового луча соответствует число, равное координате этой точки).

– Лесенка Знаний пополнилась еще одним дополнением:

Физминутка! (Стоя.)

– Молодцы! Вы замечательно трудитесь. И чтобы еще немного подбодрить себя, – снова небольшой аутотренинг – закройте глаза, повторяйте за мной:

Я здоров и крепок духом!
Я магнитик для успеха!
Я доверяю себе и жизни!
Я достоин всего самого лучшего!

V. Первичное закрепление.

Задание 4, с. 62

а) Выполняется фронтально на доске с комментированием. Если будут желающие, – “по цепочке”.

б) Выполняется на доске “по цепочке”, с комментированием:

в) Выполняется в паре со взаимопроверкой (1 пара работает у доски) :

Задание 2 (б), с. 61 – выполняется устно, фронтально.

– Это задание подготовит нас к изучению следующей темы.

1) 15-1=14 (единичных отрезков) расстояние от столовой до телефона;

2) 14 · 5 км=70 (км) расстояние от столовой до телефона.

(Если единичный отрезок равен 5 км, то расстояние от столовой до телефона равно 14 единичным отрезкам, либо 70 км.)

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу.

Задание 3 (а, б), с. 62 – по вариантам, самостоятельно:

– Кто закончил, встать! Проверим по образцу.

а) Образец на доске :

– Кто допустил ошибку, объясняет, в чем именно (где?) и почему?

Над чем еще стоит поработать?

Дети, допустившие ошибки, работают самостоятельно на следующем этапе урока, выполняя подобное задание, например, задание 4(в), с. 62.

VII. Включение в систему знаний и повторение.

Учащиеся, допустившие ошибки в самостоятельной работе, работают сами (задание 4 (в), с. 62),

выполняя аналогичное задание. Затем сверяют по эталону, либо по образцу (на индивидуальных листочках). Выполнив свое задание, подключаются к работе класса.

А в это время весь класс выполняет фронтальную работу.

– Решим задачу на конкретное применение новых знаний о координатном луче:

Задание 7, с. 62 – устно, фронтально, либо в паре. Чтение задачи вслух 1 учеником.

– Что известно в задаче? Куда двигался автомобиль? (Слева направо.)

– Что нужно узнать? Как? (Точку отправления. Из конечной точки В (17) вычесть 6 ед. отрезков.)

– Так из какой точки выехал автомобиль? (Из точки А (11.)

– Ответьте на 2-ой вопрос задачи. (Справа налево на 3 е.)

Задание 9 (б, в, г, д), с. 63 – групповая работа:

– Повторим решение задач с использованием формул пути, стоимости, работы.

– Капитаны команд запишут буквенное выражение на доске и докажут свой выбор.

1гр.: б) (х+х3):7;

2гр.: в) (у:5)12;

3гр.: г) (с:20)d;

4гр.: д) с-(а4+в).

VIII. Рефлексия деятельности.

(Дети работают стоя.)

– Назовите ключевые слова урока…

– Где в жизни вам могут пригодиться знания сегодняшнего урока?

(При решении задач, определении адреса чего-либо, кого-либо и т. д.)

– А еще наш урок подготовил вас к следующему, на котором вы научитесь находить расстояние

между точками числового луча по их известным координатам.

* Молодец! Замечательно!
*Хорошо, но мог бы и лучше!
*Старайся! Будь внимательным!

Закройте пальчиком ту снежинку, с высказыванием напротив которой вы согласны.

– Как бы вы оценили работу всего класса?

(“Ударно” – руки вверх “в замок”, “Можно было лучше” – руки за спину).

Домашнее задание: Задание 5, с. 62 – творческого характера (устно);

Задание 8, с. 62; Задание 12 (а) или 13, с. 63-64 (1 по выбору).

Подумать каждому: над чем ему еще поработать?

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

Определение 1

Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Пример 1

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Пример 2

Определение 2

Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Пример 3

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...

Пример 4

Определение 3

– это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.

Пример 5

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Пример 6

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.

Пример 7

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Пример 8

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.

Пример 9

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Пример 10

Определение 4

– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Определение 5

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Пример 11

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Определение 6

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

Лучом называется часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца (луч солнца, луч света от фонарика). Рассмотрите рисунок и определите, какие фигуры изображены, чем они похожи, чем отличаются, как их можно назвать. http://bit.ly/2DusaQv

На рисунке изображены части прямой, которые имеют начало и не имеют конца, это лучи, которые можно назвать «о икс».

• один луч обозначен большими буквами ОХ, а в названии второго одна буква большая, а вторая маленькая Ох;
• первый луч чистенький, а второй похож на линеечку, так как на нём отмечены числа;
• на втором луче отмечена буква Е, а под ней число 1;
• на правом конце этого луча есть стрелочка;
• возможно, его можно назвать числовой луч.

Второй луч можно назвать числовым лучом Ох:

• О - начало отсчёта и имеет координату нуль;
• записывается О (0); читается точка О с координатой нуль;
• принято под точкой, обозначенной буквой О писать цифру нуль (0);
• отрезок ОЕ - единичный отрезок;
• точка Е имеет координату 1 (на чертеже отмечено штрихом);
• записывается Е (1); читается точка Е с координатой один;
• стрелочка на правом конце луча указывает направление, в котором ведётся отсчёт;
• мы ввели новые понятия координаты, значит, луч можно назвать координатным;
• так как на луче откладываются координаты различных точек, то и справа пишем в названии луча маленькую букву х.

Построение координатного луча

Мы раскрыли понятие координатного луча и терминологию, связанную с ним, значит, должны научиться его строить:

• строим луч и обозначаем Ох;
• указываем стрелочкой направление;
• отмечаем цифрой 0 начало отсчёта;
• отмечаем единичный отрезок ОЕ (он может быть различной длины);
• отмечаем координату точки Е цифрой 1;
• остальные точки друг от друга будут находиться на одинаковом расстоянии, но их не принято наносить на координатный луч, чтобы не загромождать чертёж.

Для наглядного представления чисел принято использовать координатный луч, на котором числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Таким образом число, расположенное правее всегда больше числа, расположенного левее на прямой.

Построение координатного луча начинается с точки О, которая называется началом координат. Из этой точки вправо проводим луч и рисуем на его конце стрелку вправо. Точка О имеет координату 0. От нее на луче откладывается единичный отрезок, конец которого имеет координату 1. От конца единичного отрезка откладываем rot один равный ему по длине, на конце которого ставим координату 2 и т. д.