Треугольник является самой простой замкнутой фигурой на плоскости. При изучении школьного курса геометрии рассмотрению его свойств уделяют особое внимание. В данной статье раскроем вопрос признаков подобия и равенства треугольников.

Какие треугольники называются подобными, а какие равными?

Логично предположить, что две рассматриваемые фигуры будут равны между собой, если они имеют все одинаковые углы и длины сторон. Что касается подобия, то здесь дело обстоит немного сложнее. Два треугольника будут подобны тогда, когда каждый угол одного будет равен соответствующему углу другого, а стороны, лежащие напротив равных углов обеих фигур, будут пропорциональны. Ниже изображен рисунок, на котором представлены два подобных треугольника.

Используя этот рисунок, запишем в виде математических равенств данное выше определение: B = G, A = E, C = F, BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, здесь одна латинская буква означает угол, а две буквы - длину стороны. Величина r носит название коэффициента подобия. Понятно, что если r = 1, то имеют место не только подобные, но и равные треугольники.

Признаки подобия

Говоря о свойствах и и равенства треугольников, следует перечислить три основных критерия, по которым можно определить, являются ли рассматриваемые фигуры подобными или нет.

Итак, две фигуры будут подобными между собой, если выполняется одно из следующих условий:

1. Их два угла равны. Поскольку сумма углов треугольника эквивалентна 180 o , то равенство первых двух из них автоматически означает, что одинаковыми будут и третьи. Используя рисунок выше, этот признак можно записать так: если B = G и A = E, то ABC и GEF являются подобными. Если же в этом случае будут равными хотя бы по одной стороне обоих фигур, тогда можно говорить о полной эквивалентности треугольников.
2. Две стороны пропорциональны и углы между ними одинаковые. Например, BA / GE = AC / EF и A = E, тогда GEF и ABC будут подобными. Заметим, что углы A и E лежат между соответствующими пропорциональными сторонами.
3. Все три стороны взаимно пропорциональны. Излагая математическим языком, получаем: BA / GE = AC / EF = BC / GF = r, тогда рассматриваемые фигуры тоже являются подобными.

Отметим еще раз, что для доказательства подобия достаточно привести какой-либо один из представленных признаков. Логично, что все остальные будут выполняться также.

Прямоугольные треугольники: когда они подобны, а когда равны?

Говоря о признаках равенства и подобия прямоугольных треугольников, следует отметить сразу, что у каждого из них по одному углу уже равны (90 o).

Последний факт приводит к следующей формулировке изложенных выше критериев подобия:

1. Если в двух треугольниках прямоугольных равен всего один угол, который не является прямым, то такие фигуры подобны между собой.
2. Если катеты пропорциональны между собой, тогда фигуры тоже будут подобны, поскольку угол между катетами является прямым.
3. Наконец, пропорциональности всего двух любых сторон для обоих прямоугольных треугольников достаточно для доказательства их подобия. Причина этого заключается в том, что стороны данных фигур связаны между собой теоремой Пифагора, поэтому пропорциональность 2-х из них приводит к пропорциональности с аналогичным коэффициентом подобия и для третьих сторон.

Что касается равенства треугольников с прямыми углами, то здесь просто запомнить: если два каких-либо элемента (прямой угол не считается) обеих фигур равны, то равны и сами фигуры. Например, этими двумя элементами могут быть острый угол и катет, катет и гипотенуза или гипотенуза и острый угол.

Свойства треугольников подобных

Из рассмотренных признаков подобия и равенства треугольников свойства можно выделить такие:

1. Периметры этих фигур относятся друг к другу как коэффициент подобия, то есть P 1 / P 2 = r, где P 1 и P 2 - периметры 1-го и 2-го треугольников, соответственно.
2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть: S 1 / S 2 = r 2 , где S 1 и S 2 - площади 1-го и 2-го треугольников, соответственно.

Оба эти свойства можно доказать самостоятельно. Суть доказательства сводится к применению математической записи подобия между сторонами фигур. Здесь приведем лишь доказательство 1-го свойства.

Пусть a, b, c - длины сторон одного треугольника и a", b", c" - стороны второго. Поскольку фигуры подобны, то можно записать: a = r * a", b = r * b", c = r * c". Теперь эти выражения подставим в отношении их периметров, получим: P 1 / P 2 = (a + b + c) / (a" + b" + c") = (r * a" + r * b" + r*c") / (a" + b" + c") = r(a" + b" + c") / (a" + b" + c") = r.

Пример решения задачи

Признаки подобия и равенства треугольников можно использовать для решения различных геометрических задач. Ниже приводится один из примеров.

Имеются два треугольника. У одного из них стороны равны 7,6 см, 4,18 см и 6,65 см, а у другого 3,5 см, 2,2 см и 4 см. Необходимо определить, подобны ли эти фигуры.

Поскольку даны значения трех сторон, то можно сразу проверить 3-й критерий подобия. Сложность здесь состоит в том, что нужно понять, между какими сторонами брать отношения. Тут следует воспользоваться простыми логическими рассуждениями: коэффициенты подобия могут быть равными, если делить самую маленькую сторону одного треугольника на аналогичную для другого и так далее. Поэтому имеем: 4,18 / 2,2 = 1,9; 6,65 / 3,5 = 1,9; 7,6 / 4 = 1,9. Проверив отношение всех сторон, можно с уверенностью сказать, что треугольники являются подобными, поскольку выполняется 3-й критерий.

В этой статье мы рассмотрим понятие подобных треугольников и другие понятия и теоремы, связанные с этим определением.

Определение подобных треугольников

Будем рассматривать следующие два треугольника (Рис. 1).

Рисунок 1. Подобные треугольники

Определение 1

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\]

Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Определение 2

Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.

Соотношение площадей подобных треугольников

С этим понятием связана следующая теорема о соотношении площадей подобных треугольников. Рассмотрим её без доказательства.

Теорема 1

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть

\[\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2\]

Признаки подобия треугольников

Приведем формулировки трех признаков подобия треугольников.

Теорема 2

: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

То есть, если $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны (рис. 2).

Рисунок 2. Первый признак подобия треугольников

Теорема 3

Второй признак равенства треугольников : Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.

То есть, если $\angle A=\angle A_1$ и $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны (рис. 3).

Рисунок 3. Второй признак подобия треугольников

Теорема 4

Третий признак подобия треугольников : Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

То есть, если $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$, то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

Примеры задач на понятие подобия треугольников

Пример 1

Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют

По равному острому углу;

По равному тупому углу;

По равному прямому углу.

Решение.

Пусть даны равнобедренные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с $\angle A=\angle A_1.$

Пусть $\angle A=\angle A_1$ -- острые углы треугольников. Тогда здесь возможны два случая:

а) $\angle A=\angle A_1$ - углы при вершине данных треугольников. Тогда, так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то

\[\angle B=\angle C=\frac{180-\angle A}{2}\]

Так как треугольник $A_1B_1C_1$ равнобедренный, то

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac{180-A_1}{2}=\frac{180-\angle A}{2}=\angle B=\angle C\]

То есть $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. По первому признаку подобия, получаем, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

б) $\angle A=\angle A_1$ - углы при основании данных треугольников. Так как треугольники подобны, то их углы при основании равны. Но тогда два соответствующих угла одного треугольника равны двум соответствующим углам второго треугольника. Значит, по первому признаку подобия треугольников, треугольники подобны.

Так как угол тупой, то он лежит при основании данных треугольников. Аналогично пункту 1,а) получим, что они подобны.

Так как угол прямой, то он лежит при основании данных треугольников. Аналогично пункту 1,а) получим, что они подобны.

Пример 2

Подобны ли треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB=17,\ BC=30,\ \ AC=42,\ {\ A}_1B_1=34,\ {\ B}_1C_1=60,\ \ A_1C_1=84$?

Решение.

Найдем коэффициент подобия каждой пары сторон треугольников:

\[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{17}{34}=\frac{1}{2}\] \[\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}\] \[\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{42}{84}=\frac{1}{2}\]

Получаем

\[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{{B_1C}_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{1}{2}\]

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников получаем, что данные треугольники подобны.

1.2. Определение подобных треугольников. Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Другими словами, два треугольника подобны, если их можно обозначить буквами ABC и A1B1C1 так, что A= A1, B= B1, C= C1, Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

Слайд 9 из презентации ««Подобные треугольники» 8 класс» . Размер архива с презентацией 1756 КБ.

Геометрия 8 класс

краткое содержание других презентаций

««Квадрат» 8 класс» - Устные задачи. Квадрат. Сумка с квадратным основанием. Богатый торговец. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Площадь квадрата. Периметр квадрата. Признаки квадрата. Задания для устной работы по площади квадрата. Свойства квадрата. Сколько квадратов изображено на рисунке. Чёрный квадрат. Задания для устной работы по периметру квадрата. Квадрат среди нас.

«Скалярное произведение в координатах» - Свойства скалярного произведение векторов. Математический тест. Следствие. Обменяйтесь карточками. Новый материал. Теорема Наполеона. Вектор. Скалярное произведение в координатах и его свойства. Доказательство теоремы Пифагора. Решение треугольника. Геометрия. Математическая разминка. Решим задание. Имя автора теоремы.

«Формулы описанной и вписанной окружности» - Работа с учебником. Трапеция. Суммы длин противолежащих сторон. Углы вписанного четырехугольника. Вершины треугольника. Центр окружности. Выберите верное утверждение. Закончите предложение. Треугольник. Вписанная и описанная окружности. Центр описанной окружности. Окружность. Точка пересечения. Сумма противолежащих углов. Устная работа. Высота.

«Геометрия «Подобные треугольники»» - Первый признак подобия треугольников. Пропорциональные отрезки. Решение задач. Две стороны треугольника соединили отрезком, непараллельным третьей. Стороны треугольника. Значения синуса, косинуса и тангенса. Средняя линия треугольника. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. Математический диктант. Основное тригонометрическое тождество. Продолжение боковых сторон. Третий признак подобия треугольников.

««Площадь прямоугольника» 8 класс» - Найдите площадь четырехугольника. Свойства площадей. На стороне АВ построен параллелограмм. АBCD и DСМK – квадраты. Площадь четырехугольника АСКМ. Стороны каждого из прямоугольников. Площадь прямоугольника. Единицы измерения площадей. Найти площадь треугольника. Многоугольник составлен из нескольких многоугольников. Найдите площадь шестиугольника. Найдите площадь квадрата. Единицы. ABCD – параллелограмм.

«Понятие вектора» - Нулевой вектор. Откладывание вектора от данной точки. Равнобедренная трапеция. Что такое вектор. Коллинеарные векторы. Два ненулевых вектора. Два ненулевых вектора коллинеарны. Отметьте на чертеже. Историческая справка. Направление векторов. Геометрическое понятие вектора. Задача. Параллелограмм. Векторы. Длина вектора. Равенство векторов.